رتبة المصفوفة: التعريف ، طرق البحث

في هذا المنشور ، سننظر في تعريف رتبة المصفوفة ، وكذلك الطرق التي يمكن من خلالها العثور عليها. سنقوم أيضًا بتحليل الأمثلة لإثبات تطبيق النظرية في الممارسة.

تحديد رتبة المصفوفة

رتبة المصفوفة هي رتبة نظامها من الصفوف أو الأعمدة. أي مصفوفة لها صفوفها في الصفوف والعمود ، والتي تساوي بعضها البعض.

رتبة نظام الصف هو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا. يتم تحديد رتبة نظام العمود بطريقة مماثلة.

الملاحظات:

• رتبة المصفوفة الصفرية (يُشار إليها بالرمز "θ") من أي حجم هو صفر.
• رتبة أي متجه غير صفري أو متجه عمود يساوي واحدًا.
• إذا احتوت مصفوفة من أي حجم على عنصر واحد على الأقل لا يساوي الصفر ، فإن رتبتها لا تقل عن واحد.
• رتبة المصفوفة ليست أكبر من الحد الأدنى لأبعادها.
• التحولات الأولية التي يتم إجراؤها على مصفوفة لا تغير مرتبتها.

إيجاد مرتبة المصفوفة

طريقة التهديب الصغرى

رتبة مصفوفة تساوي الحد الأقصى لترتيب غير صفري.

الخوارزمية هي على النحو التالي: العثور على القصر من أدنى أوامر إلى أعلى. إذا كان قاصرًا nالترتيب العاشر لا يساوي الصفر ، وكل ما يليه (n + شنومك) تساوي 0 ، لذا فإن رتبة المصفوفة هي n.

مثال

لتوضيح الأمر ، دعنا نأخذ مثالًا عمليًا ونجد رتبة المصفوفة A أدناه ، باستخدام طريقة الحد من القصر.

الحلول

نحن نتعامل مع مصفوفة 4 × 4 ، لذلك لا يمكن أن تكون رتبتها أعلى من 4. أيضًا ، هناك عناصر غير صفرية في المصفوفة ، مما يعني أن رتبتها لا تقل عن واحد. اذا هيا بنا نبدأ:

1. ابدأ الفحص القصر من الدرجة الثانية. بادئ ذي بدء ، نأخذ صفين من العمودين الأول والثاني.

الصغرى تساوي صفرًا.

لذلك ، ننتقل إلى المرحلة الثانوية التالية (يبقى العمود الأول ، وبدلاً من الثاني نأخذ العمود الثالث).

القاصر هو 54 ≠ 0 ، لذا فإن رتبة المصفوفة لا تقل عن اثنين.

ملحوظة: إذا تبين أن هذا القاصر يساوي صفرًا ، فسنراجع المجموعات التالية مرة أخرى:

إذا لزم الأمر ، يمكن متابعة التعداد بنفس الطريقة مع السلاسل:

• 1 و 3 ؛
• 1 و 4 ؛
• 2 و 3 ؛
• 2 و 4 ؛
• 3 و 4.

إذا كان كل الأطفال الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا.

2. تمكنا على الفور تقريبًا من العثور على قاصر يناسبنا. لذلك دعنا ننتقل إلى القصر من الدرجة الثالثة.

إلى الدرجة الثانوية التي تم العثور عليها من الدرجة الثانية ، والتي أعطت نتيجة غير صفرية ، نضيف صفًا واحدًا وأحد الأعمدة المميزة باللون الأخضر (نبدأ من الثاني).

تبين أن القاصر صفر.

لذلك ، نقوم بتغيير العمود الثاني إلى الرابع. وفي المحاولة الثانية ، تمكنا من إيجاد قاصر لا يساوي صفرًا ، مما يعني أن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تكون أقل من 3.

ملحوظة: إذا تبين أن النتيجة تساوي صفرًا مرة أخرى ، فبدلاً من الصف الثاني ، نأخذ الصف الرابع إلى أبعد من ذلك ونواصل البحث عن قاصر "جيد".

3. الآن يبقى تحديد القصر من الدرجة الرابعة بناءً على ما تم العثور عليه سابقًا. في هذه الحالة ، هو الذي يتطابق مع محدد المصفوفة.

الصغرى تساوي 144 ≠ 0. هذا يعني أن مرتبة المصفوفة A يساوي 4.

اختزال المصفوفة إلى شكل متدرج

رتبة مصفوفة الخطوة تساوي عدد صفوفها غير الصفرية. وهذا يعني أن كل ما نحتاج إلى القيام به هو إحضار المصفوفة إلى الشكل المناسب ، على سبيل المثال ، باستخدام ، كما ذكرنا أعلاه ، لا يغير ترتيبها.

مثال

أوجد مرتبة المصفوفة B أقل. نحن لا نأخذ مثالًا شديد التعقيد ، لأن هدفنا الرئيسي هو ببساطة إظهار تطبيق الطريقة في الممارسة.

الحلول

1. أولاً ، اطرح المضاعف أولاً من السطر الثاني.

2. الآن اطرح الصف الأول من الصف الثالث مضروبًا في أربعة.

وهكذا ، حصلنا على مصفوفة خطوة فيها عدد الصفوف غير الصفرية يساوي اثنين ، وبالتالي فإن رتبتها تساوي أيضًا 2.