استخراج جذر عدد مركب

في هذا المنشور ، سننظر في كيفية أخذ جذر العدد المركب ، وكيف يمكن أن يساعد ذلك أيضًا في حل المعادلات التربيعية التي يكون مميزها أقل من الصفر.

استخراج جذر عدد مركب

الجذر التربيعي

كما نعلم ، من المستحيل أخذ جذر عدد حقيقي سالب. ولكن عندما يتعلق الأمر بالأرقام المركبة ، يمكن تنفيذ هذا الإجراء. دعونا نفهم ذلك.

لنفترض أن لدينا رقمًا ض = -9. إلى √-9 هناك نوعان من الجذور:

z₁ = √-9 = -3 ط

z₁ = √-9 = 3 ط

دعونا نتحقق من النتائج التي تم الحصول عليها من خلال حل المعادلة z² = -9، دون أن ننسى ذلك i² = -1:

(-3 ط)² = (-3)² ⋅ ط² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3 ط)² = 3² ⋅ ط² = 9 ⋅ (-1) = -9

وهكذا ، أثبتنا ذلك -3 ط и 3i هي جذور √-9.

عادة ما يتم كتابة جذر الرقم السالب على النحو التالي:

√-1 = ± أنا

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i وما إلى ذلك.

الجذر إلى قوة n

لنفترض أننا حصلنا على معادلات بالصيغة ض = ⁿ√w... لديها n الجذور (z₀، من₁، من₂،…، z_N-1) ، والتي يمكن حسابها باستخدام الصيغة أدناه:

| w | هي وحدة العدد المركب w;

φ - حجته

k هي معلمة تأخذ القيم: ك = {0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن -1}.

المعادلات التربيعية ذات الجذور المعقدة

استخراج جذر الرقم السالب يغير الفكرة المعتادة لـ uXNUMXbuXNUMXb. إذا كان المميز (D) أقل من صفر ، فلا يمكن أن تكون هناك جذور حقيقية ، لكن يمكن تمثيلها كأرقام مركبة.

مثال

لنحل المعادلة x² - 8 س + 20 = 0.

الحلول

أ = 1 ، ب = -8 ، ج = 20

د = ب² - 4ac = 64-80 = -16

د <0، ولكن لا يزال بإمكاننا أخذ جذر المميز السلبي:

√D = √-16 = ± 4i

الآن يمكننا حساب الجذور:

x_1,2 = (-ب ± √D) / 2 أ = (8 ± 4i) / 2 = 4 ± 2ط.

لذلك ، فإن المعادلة x² - 8 س + 20 = 0 له جذران مترافقان معقدان:

x₁ = 4 + 2 ط

x₂ = 4 - 2 ط