رفع عدد مركب إلى قوة طبيعية

في هذا المنشور ، سننظر في كيفية رفع رقم مركب إلى قوة (بما في ذلك استخدام صيغة De Moivre). المادة النظرية مصحوبة بأمثلة لفهم أفضل.

رفع عدد مركب إلى قوة

أولاً ، تذكر أن الرقم المركب له الشكل العام: ض = أ + ثنائية (شكل جبري).

الآن يمكننا المضي قدمًا مباشرةً في حل المشكلة.

رقم مربع

يمكننا تمثيل الدرجة كمنتج لنفس العوامل ، ثم نجد ناتجها (مع تذكر ذلك i² = -1).

z² = (أ + ثنائي)² = (أ + ثنائي) (أ + ثنائي)

مثال 1:

ض = 3 + 5 ط

z² = (3 + 5 ط)² = (3 + 5 ط) (3 + 5 ط) = 9 + 15 ط + 15 ط + 25 ط² = -16 + 30 ط

يمكنك أيضًا استخدام مربع المجموع:

z² = (أ + ثنائي)² = a² + 2 ⋅ أ ⋅ ثنائي + (ثنائي)² = a² + 2abi - ب²

ملحوظة: بنفس الطريقة ، إذا لزم الأمر ، يمكن الحصول على معادلات لمربع الفرق ، ومكعب المجموع / الفرق ، وما إلى ذلك.

الدرجة التاسعة

ارفع عددًا مركبًا z عينية n أسهل بكثير إذا تم تمثيلها في شكل مثلث.

تذكر ، بشكل عام ، أن تدوين الرقم يبدو كما يلي: ض = | ض | ⋅ (كوس φ + أنا ⋅ الخطيئة φ).

للأس ، يمكنك استخدام صيغة دي Moivre (سميت بهذا الاسم نسبة لعالم الرياضيات الإنجليزي أبراهام دي موفر):

zⁿ = | ض |ⁿ ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))

يتم الحصول على الصيغة عن طريق الكتابة في شكل مثلثي (يتم ضرب الوحدات ، ويتم إضافة الحجج).

مثال 2

ارفع عددًا مركبًا ض = 2 ⋅ (كوس 35 درجة + أنا ⋅ خطيئة 35 درجة) إلى الدرجة الثامنة.

الحلول

z⁸ = 2⁸ ⋅ (كوس (8 ⋅ 35 درجة) + أنا ⋅ خطيئة (8 ⋅ 35 درجة)) = 256 درجة (كوس 280 درجة + أنا الخطيئة 280 درجة).