في هذا المنشور ، سننظر في ماهية الطريقة الغاوسية ، ولماذا هناك حاجة إليها ، وما هو مبدأها. سنشرح أيضًا باستخدام مثال عملي كيف يمكن تطبيق الطريقة لحل نظام المعادلات الخطية.
وصف طريقة جاوس
طريقة جاوس هي الطريقة الكلاسيكية للتخلص المتسلسل من المتغيرات المستخدمة لحلها. سميت على اسم عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس (1777-1885).
لكن أولاً ، دعونا نتذكر أن SLAU يمكنها:
- لديك حل واحد ؛
- لديك عدد لا حصر له من الحلول ؛
- تكون غير متوافقة ، أي ليس لديها حلول.
فوائد عملية
طريقة Gauss هي طريقة رائعة لحل SLAE الذي يتضمن أكثر من ثلاث معادلات خطية ، بالإضافة إلى الأنظمة غير المربعة.
مبدأ طريقة غاوس
تتضمن الطريقة الخطوات التالية:
- مستقيم - يتم تقليل المصفوفة المعززة المقابلة لنظام المعادلات بالمناسبة فوق الصفوف إلى الشكل المثلثي العلوي (المتدرج) ، أي تحت القطر الرئيسي يجب أن تكون العناصر تساوي الصفر فقط.
- الى الخلف - في المصفوفة الناتجة ، يتم أيضًا ضبط العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي على الصفر (منظر مثلث سفلي).
مثال على حل SLAE
لنحل نظام المعادلات الخطية أدناه باستخدام طريقة جاوس.
الحلول
1. بادئ ذي بدء ، نقدم SLAE في شكل مصفوفة موسعة.
2. مهمتنا الآن هي إعادة تعيين جميع العناصر الموجودة تحت القطر الرئيسي. تعتمد الإجراءات الإضافية على المصفوفة المحددة ، أدناه سنصف تلك التي تنطبق على حالتنا. أولاً ، نتبادل الصفوف ، وبذلك نرتب عناصرها الأولى بترتيب تصاعدي.
3. اطرح من الصف الثاني مرتين في الصف الأول ، ومن الصف الثالث - ثلاثة أضعاف الصف الأول.
4. أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.
5. اطرح السطر الثاني من السطر الأول ، وفي نفس الوقت اقسم السطر الثالث على -10.
6. تم الانتهاء من المرحلة الأولى. نحتاج الآن إلى الحصول على العناصر الفارغة فوق القطر الرئيسي. للقيام بذلك ، اطرح الثالث مضروبًا في 7 من الصف الأول ، واجمع الثالث مضروبًا في 5 إلى الثاني.
7. تبدو المصفوفة الموسعة النهائية على النحو التالي:
8. يتوافق مع نظام المعادلات:
الجواب: الجذر SLAU: x = 2، y = 3، z = 1.