خصائص ارتفاع مثلث قائم الزاوية

في هذا المنشور ، سننظر في الخصائص الرئيسية للارتفاع في مثلث قائم الزاوية ، ونحلل أيضًا أمثلة لحل المشكلات في هذا الموضوع.

ملحوظة: يسمى المثلث مستطيلي، إذا كانت إحدى زواياه قائمة (تساوي 90 درجة) والاثنتان الأخريان حادتان (<90 درجة).

خصائص الارتفاع في مثلث قائم الزاوية

الملكية 1

المثلث القائم له ارتفاعان (h₁ и h₂) تتزامن مع رجليها.

الارتفاع الثالث (h₃) ينزل من الزاوية اليمنى إلى الوتر.

الملكية 2

يقع المركز العمودي (نقطة تقاطع الارتفاعات) للمثلث القائم في قمة الزاوية اليمنى.

الملكية 3

الارتفاع في المثلث القائم المرسوم على الوتر يقسمه إلى مثلثين متشابهين قائم الزاوية ، والذي يشبه أيضًا المثلث الأصلي.

1. △ABD ~ △ايه بي سي بزاويتين متساويتين: ∠اعلان = ∠LAC (خطوط مستقيمة) ، ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ايه بي سي بزاويتين متساويتين: ∠ADC = ∠LAC (خطوط مستقيمة) ، ∠ACD = ∠CBA

3. △ABD ~ △ADC بزاويتين متساويتين: ∠ABD = ∠DAC ، ∠سيئة = ∠ACD.

برهان: ∠سيئة = 90 درجة - ∠عبد (أي بي سي). في نفس الوقت ∠حوار التعاون الآسيوي (ACB) = 90 درجة - ∠ايه بي سي.

لذلك ، ∠سيئة = ∠ACD.

يمكن إثبات ذلك بطريقة مماثلة لـ ∠ABD = ∠DAC .

الملكية 4

في المثلث القائم الزاوية ، يتم حساب الارتفاع المرسوم على الوتر على النحو التالي:

1. من خلال مقاطع على الوتر، التي تشكلت نتيجة تقسيمها على قاعدة الارتفاع:

2. من خلال أطوال أضلاع المثلث:

هذه الصيغة مشتقة من خصائص جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية (جيب الزاوية يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر):

ملحوظة: إلى المثلث الأيمن ، تنطبق أيضًا خصائص الارتفاع العامة المعروضة في منشورنا.

مثال على مشكلة

المهمة 1

الوتر في المثلث القائم مقسوم على الارتفاع المرسوم له إلى جزأين 5 و 13 سم. أوجد طول هذا الارتفاع.

الحلول

دعنا نستخدم الصيغة الأولى المقدمة في الملكية 4:

المهمة 2

طول أرجل المثلث القائم ٩ سم و ١٢ سم. أوجد طول الارتفاع المرسوم على الوتر.

الحلول

أولًا ، لنجد طول الوتر على طول (دع أرجل المثلث تكون "إلى" и "B"، والوتر هو "ضد"):

c² = أ² + ب² = 9² + 12² = 225.

وبالتالي ، فإن с = 15 سم.

الآن يمكننا تطبيق الصيغة الثانية من الخصائص 4نوقشت أعلاه: