ما هي نهاية الدالة

في هذا المنشور ، سننظر في أحد المفاهيم الرئيسية للتحليل الرياضي - حدود الوظيفة: تعريفها ، بالإضافة إلى الحلول المختلفة مع أمثلة عملية.

تحديد نهاية دالة

حد الوظيفة - القيمة التي تتجه إليها قيمة هذه الوظيفة عندما تميل حجتها إلى نقطة التحديد.

سجل الحد:

• الحد المشار إليه بالرمز ليم;
• أدناه يتم إضافة القيمة التي تميل إليها الوسيطة (المتغير) للوظيفة. عادة هذا x، ولكن ليس بالضرورة ، على سبيل المثال:x→ 1 ″ ؛
• ثم يتم إضافة الوظيفة نفسها إلى اليمين ، على سبيل المثال:

  

وبالتالي ، فإن السجل النهائي للنهاية يبدو كالتالي (في حالتنا):

يقرأ مثل "حد الوظيفة عندما يميل x إلى الوحدة".

x→ 1 - هذا يعني أن "x" تأخذ باستمرار قيمًا تقترب بلا حدود من الوحدة ، ولكنها لن تتطابق معها أبدًا (لن يتم الوصول إليها).

حدود القرار

برقم معين

دعنا نحل الحد أعلاه. للقيام بذلك ، ببساطة استبدل الوحدة في الوظيفة (لأن x→ 1):

وبالتالي ، لحل النهاية ، نحاول أولاً ببساطة استبدال الرقم المعطى بالدالة التي تحته (إذا كان x يقترب من رقم معين).

مع اللانهاية

في هذه الحالة ، تزيد حجة الوظيفة بشكل لا نهائي ، أي ، "X" يميل إلى اللانهاية (∞). فمثلا:

If x→ ∞ ، فإن الوظيفة المعينة تميل إلى سالب اللانهاية (-) ، للأسباب التالية:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 - 1000 - 997 إلخ.

مثال آخر أكثر تعقيدًا

لحل هذا الحد ، قم أيضًا بزيادة القيم x وإلقاء نظرة على "سلوك" الوظيفة في هذه الحالة.

• RџSRё x = 1، ص = 1² + 3 · 1-6 = -2
• RџSRё x = 10، ص = 10² + 3 · 10-6 = 124
• RџSRё x = 100، ص = 100² + 3 · 100-6 = 10294

وهكذا ، ل "X"تميل إلى ما لا نهاية ، وظيفة x² + 3 س - 6 ينمو إلى أجل غير مسمى.

مع عدم اليقين (س يميل إلى اللانهاية)

في هذه الحالة ، نتحدث عن النهايات ، عندما تكون الوظيفة كسرًا ، يكون بسطها ومقامها كثيرات الحدود. حيث "X" يميل إلى اللانهاية.

على سبيل المثال: دعنا نحسب الحد أدناه.

الحلول

تميل التعابير في كل من البسط والمقام إلى اللانهاية. يمكن افتراض أن الحل في هذه الحالة سيكون على النحو التالي:

ومع ذلك ، ليس كل شيء بهذه البساطة. لحل هذا الحد علينا القيام بما يلي:

1. تجد x إلى أعلى قوة للبسط (في حالتنا ، اثنان).

2. وبالمثل ، فإننا نحدد x لأعلى أس للمقام (يساوي أيضًا اثنين).

3. الآن نقسم كل من البسط والمقام على x في الدرجة العليا. في حالتنا ، في كلتا الحالتين - في الحالة الثانية ، ولكن إذا كانا مختلفين ، فيجب أن نحصل على أعلى درجة.

4. في النتيجة الناتجة ، تميل جميع الكسور إلى الصفر ، وبالتالي فإن الإجابة هي 1/2.

مع عدم اليقين (س تميل إلى رقم محدد)

كل من البسط والمقام كثيرات الحدود ، ومع ذلك ، "X" يميل إلى رقم محدد ، وليس إلى ما لا نهاية.

في هذه الحالة ، نغمض أعيننا بشروط عن حقيقة أن المقام يساوي صفرًا.

على سبيل المثال: لنجد نهاية الدالة أدناه.

الحلول

1. أولاً ، دعنا نعوض بالرقم 1 في الدالة التي لها "X". نحصل على عدم اليقين من الشكل الذي نفكر فيه.

2. بعد ذلك ، نحلل البسط والمقام إلى عوامل. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام صيغ الضرب المختصرة ، إذا كانت مناسبة ، أو.

في حالتنا ، جذور التعبير في البسط (2x² - 5 س + 3 = 0) هي الأرقام 1 و 1,5،XNUMX. لذلك ، يمكن تمثيلها على النحو التالي: 2 (x-1) (x-1,5،XNUMX).

المقام - صفة مشتركة - حالة (س -1) بسيط في البداية.

3. نحصل على مثل هذا الحد المعدل:

4. يمكن اختزال الكسر بواسطة (س -1):

5. يبقى فقط استبدال الرقم 1 في التعبير الذي تم الحصول عليه تحت الحد: