نظرية فيرما الصغيرة

في هذا المنشور ، سننظر في إحدى النظريات الرئيسية في نظرية الأعداد الصحيحة -  نظرية فيرما الصغيرةسميت على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات. سنقوم أيضًا بتحليل مثال لحل المشكلة لدمج المواد المقدمة.

بيان النظرية

1. الأولي

If p هو عدد أولي a هو عدد صحيح لا يقبل القسمة عليه pthen a^{ف 1} - 1 مقسوما على p.

هو مكتوب رسميا مثل هذا: a^{ف 1} 1 (ضد p).

ملحوظة: الرقم الأولي هو رقم طبيعي لا يقبل القسمة إلا على XNUMX وعلى نفسه بدون باقي.

فمثلا:

• a = 2
• p = 5
• a^{ف 1} - 1 = 2^{٢٠٢٤/٢٠٢٣} - 1 = 2⁴ - 1 = 16-1 = 15
• عدد 15 مقسوما على 5 بدون باق.

2. البديل

If p هو عدد أولي ، a أي عدد صحيح ، إذن a^p مقارنة ل a مودولو p.

a^p ≡ أ (ضد p)

تاريخ العثور على الأدلة

صاغ بيير دي فيرمات النظرية عام 1640 ، لكنه لم يثبت ذلك بنفسه. في وقت لاحق ، قام بذلك جوتفريد فيلهلم ليبنيز ، الفيلسوف الألماني ، والمنطق ، والرياضيات ، وما إلى ذلك. ويعتقد أنه كان لديه بالفعل الدليل بحلول عام 1683 ، على الرغم من أنه لم يتم نشره مطلقًا. من الجدير بالذكر أن ليبنيز اكتشف النظرية بنفسه ، ولم يكن يعلم أنها قد تمت صياغتها مسبقًا.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

مثال على مشكلة

أوجد باقي الرقم 2¹² on 12.

الحلول

لنتخيل رقمًا 2¹² as 2-2¹¹.

11 هو عدد أولي ، لذلك ، من خلال نظرية فيرما الصغيرة نحصل على:

2¹¹ 2 (ضد 11).

بالتالي، 2-2¹¹ 4 (ضد 11).

إذن الرقم 2¹² مقسوما على 12 مع باقي يساوي 4.