في هذا المنشور ، سننظر في تعريف نظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) ، وكيف يبدو ، وما هي الأنواع الموجودة ، وكذلك كيفية تقديمه في شكل مصفوفة ، بما في ذلك المعادلات الموسعة.
تعريف نظام المعادلات الخطية
نظام المعادلات الجبرية الخطية (أو اختصارًا "SLAU") هو نظام يبدو بشكل عام كالتالي:
- m هو عدد المعادلات
- n هو عدد المتغيرات.
- x1، X2، ... ، xn - مجهول؛
- a11,12…، أmn - معاملات المجهول.
- b1، ب2،…، بm - أعضاء أحرار.
مؤشرات المعامل (aij) على النحو التالي:
- i هو رقم المعادلة الخطية ؛
- j هو رقم المتغير الذي يشير إليه المعامل.
حل SLAU - مثل هذه الأرقام c1C2، ... ، جn ، في الإعداد الذي بدلاً من x1، X2، ... ، xn، ستتحول جميع معادلات النظام إلى هويات.
أنواع SLAU
- متجانس - جميع الأعضاء الأحرار في النظام تساوي الصفر (b1 = ب2 =… = بm = 0).
- غير متجانسة - إذا لم يتم استيفاء الشرط أعلاه.
- مربع - عدد المعادلات يساوي عدد المجهول ، أي
م = ن . - غير محدد - عدد المجهول أكبر من عدد المعادلات.
- تم تجاوزه هناك معادلات أكثر من المتغيرات.
اعتمادًا على عدد الحلول ، يمكن أن تكون SLAE:
- مشترك لديه حل واحد على الأقل. علاوة على ذلك ، إذا كان فريدًا ، يسمى النظام محددًا ، وإذا كان هناك العديد من الحلول ، فيُسمى لأجل غير مسمى.
SLAE أعلاه مشترك ، لأنه يوجد حل واحد على الأقل:
س = 2 ، ص = 3. - تتعارض النظام ليس له حلول.
الجوانب اليمنى من المعادلات هي نفسها ، ولكن الجانب الأيسر ليس كذلك. وبالتالي ، لا توجد حلول.
تدوين المصفوفة للنظام
يمكن تمثيل SLAE في شكل مصفوفة:
AX = ب
- A هي المصفوفة المكونة من معاملات المجهول:
- X - عمود المتغيرات:
- B - عمود الأعضاء الأحرار:
مثال
نحن نمثل نظام المعادلات أدناه في شكل مصفوفة:
باستخدام النماذج أعلاه ، نقوم بتكوين المصفوفة الرئيسية بالمعاملات والأعمدة ذات الأعضاء غير المعروفين والحرة.
السجل الكامل لنظام المعادلات المحدد في شكل مصفوفة:
مصفوفة SLAE الممتدة
إذا إلى مصفوفة النظام A أضف عمود أعضاء مجانيين إلى اليمين B، بفصل البيانات بشريط عمودي ، تحصل على مصفوفة ممتدة لـ SLAE.
بالنسبة للمثال أعلاه ، يبدو كالتالي:
- تعيين المصفوفة الممتدة.