المحتويات
في هذا المنشور ، سننظر في إحدى النظريات الكلاسيكية للهندسة الأفينية - نظرية Ceva ، التي حصلت على مثل هذا الاسم تكريما للمهندس الإيطالي جيوفاني سيفا. سنقوم أيضًا بتحليل مثال لحل المشكلة من أجل دمج المواد المقدمة.
بيان النظرية
مثلث معين ايه بي سي، حيث يتصل كل رأس بنقطة على الجانب المقابل.
وهكذا نحصل على ثلاث شرائح (AA ', BB ' и نسخة ') ، والتي تسمى سيفيانس.
تتقاطع هذه المقاطع عند نقطة واحدة إذا وفقط إذا كانت المساواة التالية صحيحة:
|و'| |ليس'| |CB '| = |BC '| |تحول'| |AB '|
يمكن أيضًا تقديم النظرية في هذا النموذج (يتم تحديد النسبة التي تقسم النقاط بين الجانبين):
نظرية سيفا المثلثية
ملاحظة: جميع الزوايا موجهة.
مثال على مشكلة
مثلث معين ايه بي سي بالنقاط ل', ب ' и ج ' على الجوانب BC, AC и AB، على التوالى. ترتبط رؤوس المثلث بالنقاط المحددة ، وتمر الأجزاء المشكلة عبر نقطة واحدة. في نفس الوقت ، النقاط ل' и ب ' مأخوذة عند نقاط المنتصف للجانبين المتقابلين المتقابلين. اكتشف في أي نسبة النقطة ج ' يقسم الجانب AB.
الحلول
لنرسم رسمًا وفقًا لظروف المشكلة. لراحتنا ، نعتمد الترميز التالي:
- AB '= B'C = أ
- BA '= A'C = ب
يبقى فقط تكوين نسبة المقاطع وفقًا لنظرية Ceva واستبدالها بالتدوين المقبول:
بعد تصغير الكسور ، نحصل على:
بالتالي، AC '= C'B، أي نقطة ج ' يقسم الجانب AB في النصف.
لذلك ، في مثلثنا ، الأجزاء AA ', BB ' и نسخة ' متوسطات. بعد حل المشكلة ، أثبتنا أنها تتقاطع عند نقطة واحدة (صالحة لأي مثلث).
ملحوظة: باستخدام نظرية Ceva ، يمكن للمرء أن يثبت أنه في مثلث عند نقطة واحدة ، تتقاطع أيضًا المنصفات أو الارتفاعات.